বাস্তব সংখ্যা ১০০% নিশ্চিত কমন।।৮ম -১০ম।। সরকারি চাকরি।।

গণিতের বেসিক মজবুত করতে বাস্তব সংখ্যার প্রয়োজন ব্যাপক।। দৈনন্দিন সাধারন প্রয়োজন ছাড়াও ছাড়াও ৬ষ্ঠ শ্রেনি থেকে ১০ম শ্রেণির সাধারণ ও উচ্চতর গণিত এবং বিসিএস (BCS), এনটিআরসিএ (NTRCA), প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগসহ যেকোনো সরকারি চাকরির পরীক্ষার গণিত প্রস্তুতিতে এই অধ্যায়টি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা, মৌলিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা এবং দশমিক ভগ্নাংশের সঠিক ধারণা থাকলে যেকোনো একাডেমিক ও নিয়োগ পরীক্ষায় দ্রুত ও নির্ভুল উত্তর দেওয়া সম্ভব। আপনাদের প্রস্তুতি আরো সহজ ও গোছালো করতে এই আরটিকেলটি । এটা আমরা ধরা বাহিকভাবে ৩ টি পর্বে আলোচনা করব।

বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)

গাণিতিক বিশ্লেষণের মূল ভিত্তি হলো বাস্তব সংখ্যা। দৈনন্দিন জীবনে আমরা যেসব সংখ্যা ব্যবহার করি—গণনার কাজে, পরিমাপের কাজে বা ইতিবাচক-নেতিবাচক হিসাব-নিকাশে—তার সবই বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।

শ্রেণিবিন্যাস।

বাস্তব সংখ্যা প্রধানত দুই ভাগে বিভক্ত। 

1'মূলদ সংখ্যা ।

2.অমূলদ সংখ্যা।

১. মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers)

যেসব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার (---,-৪,-৩,-২,-১,০,১,২,৩,৪----) অনুপাত অর্থাৎ p/q আকারে প্রকাশ করা যায়—যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≈ 0 , তাদের মূলদ সংখ্যা বলে। মূলদ সংখ্যার সেটকে Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

যেমন-৩/১=৩,১১/২=৫.৫,৫/৩=১.৬৬৬৬----

প্রধান বৈশিষ্ট্যসমূহ:

• ভগ্নাংশ রূপ: যেকোনো পূর্ণসংখ্যা (---,-৪,-৩,-২,-১,০,১,২,৩,৪----) ও সাধারণ ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা ।যেমন: ১/২,৪/২,৫,১০/৩ ইত্যাদি।

• দশমিক রূপ:  মূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তার হয়  সসীম (০.১২,১.০২৩,৭.৮৩২ ইত্যদি) হবে, অথবা অসীম (১.১২৩৪----,৫.১২৭৬৫----,২.৪২৪৭৪৫--- ইত্যাদি) হলে তা আবৃত  (পৌনঃপুনিক ৩.৩৩৩,২. ৪৫৪৫৪৫,৫.১২৭৬৫৭৬৫ ইত্যাদি) হবে।

• পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল: যেসব সংখ্যার বর্গমূল পূর্ণসংখ্যা হয়, সেগুলোর ফল সবসময় মূলদ (যেমন: √4 = 2, √9 = 3,)

   

মূলদ সংখ্যার প্রকারভেদ ও উদাহরণ:

• পূর্ণসংখ্যা: সকল ধনাত্মক, ঋণাত্মক ও শূন্য (যেমন: -3, -1, 0, 2, 5)।

• সসীম দশমিক: (০.১২ ,১.০২৩, ৭.৮৩২ ইত্যাদি

• আবৃত বা পৌনঃপুনিক দশমিক: ৩.৩৩৩,২. ৪৫৪৫৪৫,৫.১২৭৬৫৭৬৫ ইত্যাদি) হবে।

   

২. অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)

যেসব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার (---,-৪,-৩,-২,-১,০,১,২,৩,৪----) অনুপাত অর্থাৎ p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না—যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q = 0 হবে না তাদের অমূলদ সংখ্যা বলে। অমূলদ সংখ্যার সেটকে Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

প্রধান বৈশিষ্ট্যসমূহ:

• অনাবৃত অসীম দশমিক: অমূলদ সংখ্যার দশমিক বিন্দুর পর অঙ্কগুলো কখনোই শেষ হয় না (অসীম) এবং কোনো নির্দিষ্ট নিয়মে পুনরাবৃত্তিও ঘটে না (অনাবৃত)। যেমন-√২=.৪১৪২১৩---এভাবে √৩, √৫, √৭ 

   

• অপূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল: যেকোনো পূর্ণসংখ্যা যা পূর্ণবর্গ নয়, তার বর্গমূল বা ঘনমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন---২,৩,৫,৭ 

গাণিতিক ধ্রুবক: গণিতের কিছু বিশেষ আন্তর্জাতিক মান বা ধ্রুবক অমূলদ সংখ্যার চমৎকার উদাহরণ। 

যেমন :-

• পাই প্রতিক  π পাই  =3.14159265...বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত ( বিস্তারিত বৃত্ত অংশে)

• e (ইউলারের সংখ্যা)  2.7182818... (প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি)

   

অমূলদ সংখ্যার প্রকারভেদ ও উদাহরণ:

• অপূর্ণবর্গ সংখ্যার মূল: ∙2 1.4142135... ∙3 1.7320508... ∙5, ∙7

• অসীম অনাবৃত দশমিক রূপ: 1.01001000100001--- (এখানে শূন্যের সংখ্যা ক্রমাগত বাড়ছে, কিন্তু পুনরাবৃত্তি হচ্ছে না)।

   

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার তুলনা।

গাণিতিক অপারেশন সংক্রান্ত নিয়মাবলি।

• মূলদ + মূলদ = মূলদ (যেমন: 2 + 3 = 5)

• মূলদ + অমূলদ = অমূলদ (যেমন: 2 + ∙3 = অমূলদ)

• অশূন্য মূলদ × অমূলদ = অমূলদ (যেমন: 3 ×∙2 = 3∙2  =অমূলদ)

• অমূলদ ×অমূলদ = মূলদ বা অমূলদ

• উদাহরণ (মূলদ): ∙2× ∙2  = 2

• উদাহরণ (অমূলদ): ∙2× ∙3  =∙6 

   

বিভিন্নসরকারি চাকরিপরীক্ষার প্রশ্নসমাধান।

প্রশ্ন-০১: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা? 

(ক) ০.৪৪৪... (খ) রুট ৯ (গ) রুট ২ (ঘ) ৫/৩

উত্তর: (গ) রুট ২

• ব্যাখ্যা: রুট ২ = ১.৪১৪২১৩৫... এটি একটি অপূর্ণবর্গ সংখ্যার অসীম অনাবৃত দশমিক, তাই এটি অমূলদ।

প্রশ্ন-০২: পাই (π) এবং ইউলারের সংখ্যা (e) কোন ধরনের সংখ্যা?

 (ক) মূলদ সংখ্যা (খ) অমূলদ সংখ্যা (গ) স্বাভাবিক সংখ্যা (ঘ) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা

উত্তর: (খ) অমূলদ সংখ্যা

• ব্যাখ্যা: পাই (π) ও e হলো আন্তর্জাতিক গাণিতিক ধ্রুবক। এদের দশমিক মান অসীম ও অনাবৃত (যেমন: π = ৩.১৪১৫৯২৬৫...), তাই এগুলো অমূলদ।

   

প্রশ্ন-০৩: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা? 

(ক) রুট ৩ (খ) রুট ৫ (গ) ৮-এর ঘনমূল  (ঘ) রুট ৭

উত্তর: (গ) ৮-এর ঘনমূল

• ব্যাখ্যা: ৮-এর ঘনমূল = ২, যা একটি পূর্ণসংখ্যা (মূলদ)।

   

প্রশ্ন-০৪: ২ এবং ৩ এর মধ্যবর্তী অমূলদ সংখ্যা কোনটি? [৩৮তম বিসিএস পরীক্ষা]

 (ক) ১.৫ (খ) রুট ৩ (গ) রুট ৫ (ঘ) ২.৫

উত্তর: (গ) রুট ৫

• ব্যাখ্যা: রুট ৫-এর মান প্রায় ২.২৩৬, যা ২ এবং ৩-এর মাঝখানে অবস্থিত একটি অসীম অনাবৃত (অমূলদ) সংখ্যা। (১.৫ ও ২.৫ হলো মূলদ সংখ্যা)।

   

প্রশ্ন-০৫: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

 (ক) রুট (০.৪) (খ) রুট (০.০৯) (গ) রুট (০.৯) (ঘ) রুট (০.০০৯)

উত্তর: (খ) রুট (০.০৯)

• ব্যাখ্যা: রুট (০.০৯) = ০.৩ (একটি সসীম দশমিক সংখ্যা, তাই এটি মূলদ)।

   

প্রশ্ন-০৬: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা? 

(ক) (রুট ১২) / (রুট ৩) (খ) (রুট ২৭) / (রুট ৩) (গ) রুট (১৬/৯) (ঘ) রুট (২.৫)

উত্তর: (ঘ) রুট (২.৫)

• ব্যাখ্যা: রুট (২.৫) = রুট (২৫/১০) = ৫ / (রুট ১০)। যেহেতু রুট ১০ অপূর্ণবর্গ, তাই এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

   

প্রশ্ন-০৭: শূন্য (০) কোন ধরনের সংখ্যা? 

(ক) ঋণাত্মক মূলদ (খ) অমূলদ (গ) অঋণাত্মক মূলদ (ঘ) কোনোটিই নয়

উত্তর: (গ) অঋণাত্মক মূলদ

• ব্যাখ্যা: শূন্যকে ০/১ আকারে (p/q আকার) প্রকাশ করা যায়, তাই ০ একটি মূলদ সংখ্যা।

   

প্রশ্ন-০৮: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

 (ক) রুট (২.৫) (খ) রুট (২৭/৩) (গ) রুট ৮ (ঘ) (রুট ৩) / ২

উত্তর: (খ) রুট (২৭/৩)

• ব্যাখ্যা: ২৭ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৯। আর ৯-এর বর্গমূল (রুট ৯) হলো ৩, যা একটি মূলদ সংখ্যা।

সহজ শর্টকাট টিপস:

• রুটের ভেতর পূর্ণবর্গ সংখ্যা (যেমন: ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬) থাকলে ফল সবসময় মূলদ।

• রুটের ভেতর অপূর্ণবর্গ সংখ্যা (যেমন: ২, ৩, ৫, ৭, ৮, ১০) থাকলে তা সবসময় অমূলদ।

   

প্রশ্ন-০৯: ০.১২২২... (বা ০.১ এবং পৌনঃপুনিক ২) সংখ্যাটি কোন ধরনের সংখ্যা?

 (ক) মূলদ সংখ্যা (খ) অমূলদ সংখ্যা (গ) অপূর্ণবর্গ সংখ্যা (ঘ) ঋণাত্মক সংখ্যা

উত্তর: (ক) মূলদ সংখ্যা

• ব্যাখ্যা: যেকোনো পৌনঃপুনিক বা আবৃত দশমিক সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশে (p/q আকারে) প্রকাশ করা যায়। যেমন: ০.১২২২... = (১২ - ১) / ৯০ = ১১/৯০। তাই এটি মূলদ।

   

প্রশ্ন-১০: (রুট ৩) গুণন (রুট ১২) = কত এবং এটি কী ধরনের সংখ্যা?  

ক) ৬, মূলদ (খ) রুট ৩৬, অমূলদ (গ) ৬, অমূলদ (ঘ) ৩৬, মূলদ

উত্তর: (ক) ৬, মূলদ

• ব্যাখ্যা: (রুট ৩) × (রুট ১২) = রুট (৩ × ১২) = রুট ৩৬ = ৬। ফলাফল একটি পূর্ণসংখ্যা হওয়ায় এটি মূলদ সংখ্যা।

   

প্রশ্ন-১১: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা নয় (অর্থাৎ মূলদ)?  

(ক) ৫-এর ঘনমূল  (খ) ২৭-এর ঘনমূল  (গ) রুট ১৮ (ঘ) রুট ২০

উত্তর: (খ) ২৭-এর ঘনমূল

• ব্যাখ্যা: ২৭-এর ঘনমূল = ৩ (যেহেতু ৩ × ৩ × ৩ = ২৭)। ৩ একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই এটি মূলদ।

   

প্রশ্ন-১২: ১.০১০১০১০... সংখ্যাটি কোন ধরনের সংখ্যা? 

 (ক) অমূলদ সংখ্যা (খ) মূলদ সংখ্যা (গ) মৌলিক সংখ্যা (ঘ) কাল্পনিক সংখ্যা

উত্তর: (খ) মূলদ সংখ্যা

• ব্যাখ্যা: এখানে '১০' অংশটি বারবার পুনরাবৃত্তি হচ্ছে (আবৃত বা পৌনঃপুনিক দশমিক)। পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা সবসময় মূলদ হয়।

   

প্রশ্ন-১৩: ১.০১০০১০১০০০০১... সংখ্যাটি কোন ধরনের সংখ্যা?  

(ক) মূলদ সংখ্যা (খ) অমূলদ সংখ্যা (গ) সসীম দশমিক (ঘ) পূর্ণসংখ্যা

উত্তর: (খ) অমূলদ সংখ্যা

• ব্যাখ্যা: এখানে দশমিকের পর শূন্যের সংখ্যা ক্রমাগত বাড়ছে, কিন্তু নির্দিষ্ট কোনো অংকের পুনরাবৃত্তি ঘটছে না। এটি একটি অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যা, তাই অমূলদ।

প্রশ্ন-১৪: একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা এবং একটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল সবসময় কী হবে?

(ক) মূলদ সংখ্যা (খ) অমূলদ সংখ্যা (গ) শূন্য (ঘ) বিজোড় সংখ্যা

উত্তর: (খ) অমূলদ সংখ্যা

• ব্যাখ্যা: যেকোনো অশূন্য মূলদ সংখ্যার সাথে অমূলদ সংখ্যা গুণ করলে গুণফল সবসময় অমূলদ হয়। যেমন: ৩ × (রুট ২) = ৩ (রুট ২), যা অমূলদ।

   

প্রশ্ন-১৫: দুটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল বা গুণফল কেমন হতে পারে?

(ক) সবসময় মূলদ (খ) সবসময় অমূলদ (গ) মূলদ বা অমূলদ উভয়ই হতে পারে (ঘ) সবসময় ঋণাত্মক

উত্তর: (গ) মূলদ বা অমূলদ উভয়ই হতে পারে

• ব্যাখ্যা:

  • গুণফলের ক্ষেত্রে: (রুট ২) × (রুট ৩) = রুট ৬ (অমূলদ), কিন্তু (রুট ২) × (রুট ২) = ২ (মূলদ)।

     

প্রশ্ন-১৬: ২.৩৬ (পৌনঃপুনিক ৩৬) কে ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কত হবে? 

 (ক) ২৩৬ / ৯৯ (খ) ২৩৪ / ৯৯ (গ) ২৩৩ / ৯৯ (ঘ) ২৩৬ / ৯০

উত্তর: (খ) ২৩৪ / ৯৯

• ব্যাখ্যা: পৌনঃপুনিক তুলে ভগ্নাংশ করার নিয়ম: (সম্পূর্ণ সংখ্যা - অনাবৃত অংশ) / (যতটি পৌনঃপুনিক ততটি ৯) = (২৩৬ - ২) / ৯৯ = ২৩৪/৯৯। ভগ্নাংশে প্রকাশ করা গেছে বলেই এটি মূলদ।

   

প্রশ্ন-১৭: নিচের কোনটি অপূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল?  

(ক) রুট ১৬ (খ) রুট ২৫ (গ) রুট ১৫ (ঘ) রুট ৮১

উত্তর: (গ) রুট ১৫

• ব্যাখ্যা: ১৬, ২৫ ও ৮১ পূর্ণবর্গ সংখ্যা (যাদের রুট করলে ৪, ৫ ও ৯ হয়)। কিন্তু ১৫ পূর্ণবর্গ নয়, তাই (রুট ১৫) একটি অমূলদ সংখ্যা।

   

প্রশ্ন-১৮: সকল স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ নিচে উল্লেখিত কোন সেটের অন্তর্ভুক্ত?  

(ক) কেবল অমূলদ সংখ্যা (খ) মূলদ সংখ্যা (গ) কাল্পনিক সংখ্যা (ঘ) অসংজ্ঞায়িত সংখ্যা

উত্তর: (খ) মূলদ সংখ্যা

• ব্যাখ্যা: মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞানুযায়ী সকল ধনাত্মক/ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, শূন্য এবং সাধারণ ও দশমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যার (Q) অন্তর্ভুক্ত।

   

পরীক্ষার হলে দ্রুত চেনার কৌশল:

• মূলদ চিহ্নিত করার উপায়: পূর্ণসংখ্যা, রুট মুক্ত হওয়া সংখ্যা, সসীম দশমিক (যেমন: ১.২৫) এবং পৌনঃপুনিক দশমিক (যেমন: ০.৩৩৩...)।

• অমূলদ চিহ্নিত করার উপায়: রুট মুক্ত না হওয়া অপূর্ণবর্গ সংখ্যা, π (পাই), e (ইউলারের সংখ্যা) এবং এলোমেলো অসীম দশমিক (যেমন: ১.২৩৪১৫৬...)।

   

প্রশ্ন-১৯: ৫০ থেকে ৮০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি? 

 (ক) ৬ টি (খ) ৭ টি (গ) ৮ টি (ঘ) ৯ টি

উত্তর: (খ) ৭ টি

• ব্যাখ্যা: ৪৪২২৩২২৩২১ সূত্র অনুযায়ী:
  • ৫১-৬০: ২ট (৫৩, ৫৯)
  • ৬০-৭০: ২ট (৬১, ৬৭)

  • ৭১-৮০: ৩টি (৭১, ৭৩, ৭৯)

    মোট = ২ + ২ + ৩ = ৭টি।

     

প্রশ্ন-২০: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?  

(ক) ৯১ (খ) ৮৭ (গ) ৬৩ (ঘ) ৫৯

উত্তর: (ঘ) ৫৯

ব্যাখ্যা:

• ৯১ = ৭ × ১৩ (যৌগিক)
  • ৮৭ = ৩ × ২৯ (যৌগিক)
  • ৬৩ = ৩ × ২১ (যৌগিক)

  • ৫৯-কে ১ এবং ৫৯ ছাড়া অন্য কিছু দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাই এটি মৌলিক।

     

প্রশ্ন-২১: কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০, ২, ৪, ৫, ৬, ৮ হলে সংখ্যাটি কী হবে? 

 (ক) সবসময় মৌলিক(খ) ১ ছাড়া অন্য ক্ষেত্রে যৌগিক  (গ) অমূলদ  (ঘ) সহ-মৌলিক

উত্তর: (খ) ১ ছাড়া অন্য ক্ষেত্রে যৌগিক

• ব্যাখ্যা: যে সংখ্যার শেষে জোড় অঙ্ক (০, ২, ৪, ৬, ৮) থাকে তা ২ দিয়ে এবং শেষে ৫ থাকলে তা ৫ দিয়ে বিভাজ্য হয়। তাই এগুলো মৌলিক হতে পারে না (ব্যতিক্রম কেবল ২ এবং ৫ নিজেরা)।

   

প্রশ্ন-২২: নিচের কোন সংখ্যাটি সহ-মৌলিক নয়? 

(ক) ৪ ও ৯  (খ) ১২ ও ২৫ (গ) ১৬ ও ২১  (ঘ) ২১ ও ৩৫

উত্তর: (ঘ) ২১ ও ৩৫

• ব্যাখ্যা: ২১ = ৩ × ৭ এবং ৩৫ = ৫ × ৭। এই দুটির মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক '৭' রয়েছে (গ.সা.গু ৭), তাই এরা সহ-মৌলিক নয়।

   

প্রশ্ন-২৩: ৩টি টানা (অনুপাত বা ক্রমিক) স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সবসময় কোনটি দিয়ে বিভাজ্য? [বিভিন্ন সরকারি পরীক্ষা]

 (ক) ৪  (খ) ৫  (গ) ৬  (ঘ) ৭

উত্তর: (গ) ৬

• ব্যাখ্যা: যেকোনো ৩টি পর পর সংখ্যা নিলে (যেমন: ১ × ২ × ৩ = ৬, অথবা ২ × ৩ × ৪ = ২৪, অথবা ৩ × ৪ × ৫ = ৬০) তাদের গুণফল সবসময় ৬ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায়।

   

প্রশ্ন-২৪: ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? 

 (ক) ১২৭ (খ) ১২৯ (গ) ১৩০ (ঘ) ১৩১

উত্তর: (উত্তর: (খ) ১২৯

• ব্যাখ্যা: ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা মোট ১০টি (২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯)।

  এদের যোগফল = (২ + ৩ + ৫ + ৭ + ১১ + ১৩ + ১৭ + ১৯ + ২৩ + ২৯) = ১২৯।

   

প্রশ্ন-২৫: তিনটি ক্রমিক অখণ্ড সংখ্যার যোগফল সবসময় কোনটি দিয়ে বিভাজ্য হবে? 

(ক) ২  (খ) ৩  (গ) ৫  (ঘ) ৯

উত্তর: (খ) ৩

• ব্যাখ্যা: ধরা যাক তিনটি পরপর সংখ্যা: ১, ২, ৩ (যোগফল = ৬) অথবা ৪, ৫, ৬ (যোগফল = ১৫)। যেকোনো তিনটি পর পর অখণ্ড সংখ্যার যোগফলকে সবসময় ৩ দিয়ে ভাগ করা যায়।

   

প্রশ্ন-২৬: ৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি? 

(ক) ১ টি (খ) ২ টি (গ) ৩ টি (ঘ) ৪ টি

উত্তর: (ক) ১ টি

• ব্যাখ্যা: ৯১ থেকে ১০০ এর মধ্যে একমাত্র মৌলিক সংখ্যা হলো ৯৭ (৯১ = ৭ × ১৩, ৯৩ = ৩ × ৩১, ৯৫ = ৫ × ১৯ ইত্যাদি)।

   

প্রশ্ন-২৭: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়? 

(ক) ২৬৩  (খ) ২৪১  (গ) ১৪৩  (ঘ) ২৫১

উত্তর: (গ) ১৪৩

• ব্যাখ্যা: ১৪৩ = ১১ × ১৩ (যেহেতু ১১ ও ১৩ দিয়ে ভাগ যায়, তাই এটি যৌগিক সংখ্যা)। বাকি সংখ্যাগুলো মৌলিক।

   

প্রশ্ন-২৮: কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল যদি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যাটি কী হবে? 

(ক) অবশ্যই মৌলিক (খ) ৩ দ্বারা বিভাজ্য (যৌগিক) (গ) অসংজ্ঞায়িত  (ঘ) অমূলদ

উত্তর: (খ) ৩ দ্বারা বিভাজ্য (যৌগিক)

• ব্যাখ্যা: গণিতের নিয়মানুযায়ী কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা গেলে মূল সংখ্যাটিও ৩ দিয়ে বিভাজ্য হবে (যেমন: ৫১ এর যোগফল ৫ + ১ = ৬, তাই এটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য ও যৌগিক)।

   

বিভিন্ন প্রকার সংখ্যার পরিচয়।

• স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Numbers: গণনার কাজে ব্যবহৃত সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
  N = 1, 2, 3, 4, 5, ...

• পূর্ণসংখ্যা (Integers, }: শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।        Z =-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

পূর্ণসংখ্যা ২ ধরনের 

• ১. ধনাত্বক সংখ্যা:- 0 থেকে বড় সকল সংখ্যা। যেমন-     , 1, 2, 3, ... এটা + চিন্হ দ্বার বুঝানো হয়। 

• ২. ঋণাত্মক সংখ্যা:- 0 থেকে ছোট সকল সংখ্যা। যেমন-    -3, -2, -1, 0, এটা - চিন্হ দ্বার বুঝানো হয়। 

• ৩. অঋণাত্মক সংখ্যা:- 0 সহ সকল ধনাত্বক সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। 

যেমন:- 0,১,৩,১/২,০.৬১২

ধনাত্বক সংখ্যা আবার ২ ধরনের হয়। 

• মৌলিক সংখ্যা: 1-এর চেয়ে বড় যেসব সংখ্যা কেবল 1 এবং ঐ সংখ্যা দ্বারাই বিভাজ্য, তারা মৌলিক সংখ্যা 

(যেমন: 2, 3, 5, 7)। 

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ টি ।   সূত্র:-  ৪৪২২৩ ২২৩২১

• সহ মৌলিক সংখ্যা: দুই বা তার বেশি সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সেটা পরস্পর সহ মৌলিক সংখ্যা।

যেমন:- ৮,১৫

 ৮=১,২,৪,৮

 ১৫=১,৩,৫

এভাবে- ১০,১২,১৪৩

• যৌগিক সংখ্যা: আর ১-এর চেয়ে বড় যেসব সংখ্যার একাধিক গুণনীয়ক থাকে, তারা যৌগিক সংখ্যা (যেমন: ৪,৬,৮,৯,১০

   

  বিভিন্নসরকারি চাকরিরপরীক্ষার প্রশ্নসমাধান। 

   

প্রশ্ন-০১: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে? [বিসিএস, প্রাইমারি ও অন্যান্য পরীক্ষা] 

(ক) ২৪ টি  (খ) ২৫ টি  (গ) ২৬ টি  (ঘ) ২৭ টি

উত্তর: (খ) ২৫ টি

• ব্যাখ্যা: ৪৪২২৩২২৩২১ শর্টকাট সূত্র দিয়ে সহজে মনে রাখা যায়:
  • ১-১০: ৪টি (২, ৩, ৫, ৭)
  • ১১-২০: ৪টি (১১, ১৩, ১৭, ১৯)
  • ২১-৩০: ২ট (২৩, ২৯)
  • ৩১-৪০: ২ট (৩১, ৩৭)
  • ৪১-৫০: ৩টি (৪১, ৪৩, ৪৭)
  • ৫১-৬০: ২ট (৫৩, ৫৯)
  • ৬১-৭০: ২ট (৬১, ৬৭)
  • ৭১-৮০: ৩টি (৭১, ৭৩, ৭৯)
  • ৮১-৯০: ২ট (৮৩, ৮৯)

  • ৯১-১০০: ১টি (৯৭)। মোট ২৫টি।

     

প্রশ্ন-০২: সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা কোনটি এবং একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা কোনটি? [বিভিন্ন নিয়োগ পরীক্ষা] 

(ক) ০  (খ) ১  (গ) ২  (ঘ) ৩

উত্তর: (গ) ২

• ব্যাখ্যা: মৌলিক সংখ্যা শুরু হয় ২ থেকে। ২ হলো সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা এবং পুরো গণিতে ২-ই একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। (১ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়)।

   

প্রশ্ন-০৩: নিচের কোন জোড়াটি পরস্পর "সহ-মৌলিক" (Co-prime)? 

 (ক) ১২ ও ১৮  (খ) ১৫ ও ২১  (গ) ৮ ও ১৫  (ঘ) ৯ ও ১২

উত্তর: (গ) ৮ ও ১৫

• ব্যাখ্যা: ৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৮ এবং ১৫-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৫, ১৫। এখানে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, তাই এরা পরস্পর সহ-মৌলিক। (অন্য অপশনগুলোতে ১ ছাড়াও সাধারণ গুণনীয়ক ৩ বা ৬ রয়েছে)।

   

প্রশ্ন-০৪: নিচের কোনটি অঋণাত্মক (Non-negative) সংখ্যার উদাহরণ?

(ক) -১  (খ) -০.৫  (গ) ০ (ঘ) -৩

উত্তর: (গ) ০

• ব্যাখ্যা: ০ সহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। তাই ০ একটি অঋণাত্মক সংখ্যা।

   

প্রশ্ন-০৫: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

 (ক) ১৫  (খ) ১৭  (গ) ১৮  (ঘ) ২৭

উত্তর: সঠিক উত্তর: ১৭) (নোট: ২ + ৩ + ৫ + ৭ = ১৭)

• সঠিক অপশন: (খ) ১৭

• ব্যাখ্যা: ১ থেকে ১০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫ এবং ৭। এদের যোগফল = (২ + ৩ + ৫ + ৭) = ১৭।

   

প্রশ্ন-০৬: ১ সংখ্যাটি কোন ধরনের সংখ্যা? 

 (ক) মৌলিক সংখ্যা (খ) যৌগিক সংখ্যা (গ) মৌলিক ও যৌগিক কোনটিই নয়  (ঘ) সহ-মৌলিক সংখ্যা

উত্তর: (গ) মৌলিক ও যৌগিক কোনটিই নয়

• ব্যাখ্যা: মৌলিক সংখ্যার শর্ত হলো ১-এর চেয়ে বড় হতে হবে এবং দুটি আলাদা গুণনীয়ক থাকতে হবে। ১-এর কেবল একটিই গুণনীয়ক (১ নিজেই)। তাই ১ মৌলিকও নয়, যৌগিকও নয়।

   

প্রশ্ন-০৭: নিচের কোনটি যৌগিক সংখ্যা (Composite Number)? 

(ক) ৩১  (খ) ৪১  (গ) ৫১  (ঘ) ৬১

উত্তর: (গ) ৫১

• ব্যাখ্যা: ৫১-কে ১ এবং ৫১ ছাড়াও ৩ ও ১৭ দিয়ে ভাগ করা যায় (৩ × ১৭ = ৫১)। ১-এর চেয়ে বড় যেসব সংখ্যার একাধিক গুণনীয়ক থাকে তারা যৌগিক। বাকিগুলো মৌলিক সংখ্যা।

   

প্রশ্ন-০৮: সর্বনিম্ন বা সবচেয়ে ছোট যৌগিক সংখ্যা কোনটি? 

 (ক) ১  (খ) ২  (গ) ৩  (ঘ) ৪

উত্তর: (ঘ) ৪

• ব্যাখ্যা: ১ মৌলিক বা যৌগিক নয়। ২ ও ৩ হলো মৌলিক সংখ্যা। ৪ হলো প্রথম সংখ্যা যার ১ ও ৪ ছাড়াও অন্য গুণনীয়ক (২) রয়েছে। তাই সবচেয়ে ছোট যৌগিক সংখ্যা হলো ৪।

   

প্রশ্ন-০৯: Z = {... -৩, -২, -১, ০, ১, ২, ৩ ...} সেটটিকে গণিতে কী বলা হয়? 

 (ক) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট (N) (খ) পূর্ণসংখ্যার সেট (Z)  (গ) অমূলদ সংখ্যার সেট  (ঘ) মৌলিক সংখ্যার সেট

উত্তর: (খ) পূর্ণসংখ্যার সেট (Z)

• ব্যাখ্যা: শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা মিলে তৈরি হয় পূর্ণসংখ্যা (Integers), যাকে Z প্রতীক দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

   

প্রশ্ন-১০: দুটি ক্রমিক (পরপর) স্বাভাবিক সংখ্যা সবসময় কী হয়?

 (ক) সবসময় মৌলিক  (খ) সবসময় সহ-মৌলিক  (গ) সবসময় জোড়  (ঘ) সবসময় যৌগিক

উত্তর: (খ) সবসময় সহ-মৌলিক

• ব্যাখ্যা: যেকোনো দুটি পর পর আসা সংখ্যা (যেমন: ৪ ও ৫, ৯ ও ১০, ১৪ ও ১৫) নিলে তাদের সাধারণ গুণনীয়ক সবসময় কেবল ১ হয়। তাই যেকোনো দুটি ক্রমিক সংখ্যা সবসময় পরস্পর সহ-মৌলিক।

   

                                                          পরীক্ষার জন্য প্রয়োজনীয় শর্টকাট টিপস:

• মৌলিক সংখ্যা চেনার উপায়: ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে ৪৪২২৩২২৩২১ কোডটি মনে রাখলে যেকোনো রেঞ্জের মৌলিক সংখ্যার হিসাব কয়েক সেকেন্ডে করা যায়।

• সহ-মৌলিক পরীক্ষা: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু যদি ১ হয়, তবেই সংখ্যা দুটি সহ-মৌলিক।

   

বর্গ ও বর্গমূল (Square & Square Root)।

• বর্গ (Square): কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়েই গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়, তাকে ঐ সংখ্যার বর্গ বলে।

যেমন- 5×5 = 25, 2×2 = 4, 10×10 = 100

• বর্গমূল (Square Root): কোনো সংখ্যাকে নিজের দ্বারা গুণ করলে মূল যে সংখ্যাটি থেকে ওই বর্গফল পাওয়া যায়, তা-ই বর্গমূল ।

যেমন- 25 = 5,  4=2, 100 = 10

নোট:- বর্গ বড় হয় কিন্তু বর্গমূল ছোট হয়।

বর্গ সংখ্যার প্রয়োজনীয় নিয়ম:

• জোড় সংখ্যার বর্গ সবসময় জোড় হয় 4² = 16।

• বিজড় সংখ্যার বর্গ সবসময় বিজড় হয়  5²= 25।

• যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য হয় 0 ² = 0।

বিভিন্ন সরকারি চাকরির পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান।

১. ০.১ এর বর্গমূল কত? 

(ক) ০.১  (খ) ০.০১  (গ) ০.৩১৬ (প্রায়)   (ঘ) ০.২৫ 

উত্তর: (গ) ০.৩১৬ (প্রায়)

ব্যাখ্যা: যেকোনো ১-এর চেয়ে ছোট ধনাত্মক দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল তার মূল সংখ্যার চেয়ে বড় হয়। এখানে ০.১-এর বর্গমূল করলে পাওয়া যায় ০.৩১৬২২..., যা ০.১-এর চেয়ে বড়। (সাধারণত অপশনে 'কোনোটিই নয়' থাকলে সেটি বা ০.৩১৬ থাকলে তা সঠিক হয়)। 

২. কোনো সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ২০ যোগ করলে যোগফল ৫-এর বর্গ হবে?

(ক) ২৫  (খ) ১৬   (গ) ২৫   (ঘ) ২৫ 

উত্তর: ২৫

ব্যাখ্যা: ৫-এর বর্গ = ২৫। বর্গমূলের সাথে ২০ যোগ করলে ২৫ হয়, অর্থাৎ বর্গমূলটি হতে হবে (২৫ - ২০) = ৫। ৫ কোন সংখ্যার বর্গমূল? ২৫-এর বর্গমূল। সুতরাং সংখ্যাটি ২৫।

৩. বিজোড় সংখ্যার বর্গ নিচের কোনটি হবে?

(ক) জোড় সংখ্যা  (খ) বিজোড় সংখ্যা    (গ) ঋণাত্মক সংখ্যা   (ঘ) মৌলিক সংখ্যা 

উত্তর: (খ) বিজোড় সংখ্যা

ব্যাখ্যা: বিজোড় সংখ্যার বর্গ সবসময় বিজোড় হয় (যেমন: $৩^২ = ৯$, $৫^২ = ২৫$)।

৪. যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সবসময় কেমন হয়?

(ক) ঋণাত্মক   (খ) অঋণাত্মক (ধনাত্মক বা শূন্য)   (গ) শুধু বিজোড়   (ঘ) ভগ্নাংশ

উত্তর: (খ) অঋণাত্মক (ধনাত্মক বা শূন্য)

ব্যাখ্যা: ধনাত্মক সংখ্যার বর্গ ধনাত্মক, ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গও ধনাত্মক, এবং $০^২ = ০$। তাই যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ধনাত্মক বা শূন্য হয়।

৫. √০.০০০০০৯ = কত? 

(ক) ০.০৩   (খ) ০.৩   (গ) ০.০০৩   (ঘ) ০.০০০৩ 

উত্তর: (গ) ০.০০৩

ব্যাখ্যা: দশমিকের পর ৬টি ঘর আছে। বর্গমূল করলে দশমিকের পর তার অর্ধেক অর্থাৎ ৩টি ঘর থাকবে। ৯-এর বর্গমূল ৩, তাই উত্তর ০.০০৩। 

৬. দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

(ক) ৯০    (খ) ৯৯   (গ) ১০০    (ঘ) ১০১ 

উত্তর: (গ) ১০০

ব্যাখ্যা: বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১) ÷ ২ = (১৯৯ + ১) ÷ ২ = ১০০।

(ছোট সংখ্যা বের করতে বললে: (১৯৯ - ১) ÷ ২ = ৯৯)।

৭. ২৪৫০ সংখ্যাটিকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

(ক) ২  (খ) ৩    (গ) ৫    (ঘ) ৭ 

উত্তর: (ক) ২

ব্যাখ্যা: ২৪৫০ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাই: ২ × ৫ × ৫ × ৭ × ৭ = ২ × (৫^২) × (৭^২)। এখানে ২ জোড়াহীন অবস্থায় আছে, তাই ২ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।

৮. একটি সরলরেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ, ঐ সরলরেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ? 

(ক) দ্বিগুণ   (খ) তিনগুণ  (গ) চারগুণ   (ঘ) আটগুণ 

উত্তর: (গ) চারগুণ

ব্যাখ্যা: ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য x। বর্গক্ষেত্র = x^২।

অর্ধেক বাহু = x/২, এর ওপর অঙ্কিত বর্গ = (x/২)^২ = x^২/৪।

সুতরাং মূল বর্গটি অর্ধেকের বর্গের ৪ গুণ।

৯. (০.০০৪)^২ = কত?

(ক) ০.০০১৬  (খ) ০.০০০০০১৬   (গ) ০.০০০১৬   (ঘ) ০.১৬

উত্তর: (খ) ০.০০০০০১৬

ব্যাখ্যা: ৪-এর বর্গ ১৬। মূল সংখ্যায় দশমিকের পর ৩টি ঘর আছে, বর্গ করলে দশমিকের পর (৩ × ২) = ৬টি ঘর থাকবে। তাই উত্তর ০.০০০০০১৬।

১০. পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানীয় অংকে নিচের কোনটি থাকতে পারে না? 

(ক) ১  (খ) ৪  (গ) ৫   (ঘ) ২ 

উত্তর: (ঘ) ২

ব্যাখ্যা: কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার একক স্থানে কখনো ২, ৩, ৭ বা ৮ থাকতে পারে না। একক স্থানে ১, ৪, ৫, ৬, ৯ অথবা জোড় সংখ্যক ০ থাকে। 

ভগ্নাংশ (Fractions)

ভগ্নাংশ হলো এমন সংখ্যা যা কোনো অখণ্ড বস্তু বা পরিমাণের অংশ প্রকাশ করে। একে সাধারণ ভগ্নাংশ ও দশমিক ভগ্নাংশে ভাগ করা যায়।

ক. সাধারণ ভগ্নাংশ: 

• প্রকৃত ভগ্নাংশ: লব < হর ।যেমন: 2/3, 

• অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: লব ≥ হর। যেমন: 5/3, 

• মিশ্র ভগ্নাংশ: পূর্ণসংখ্যা + প্রকৃত ভগ্নাংশ ।যেমন: 2.5/3

   

 খ. দশমিক ভগ্নাংশ:

• সসীম দশমিক: দশমিকের পর নির্দিষ্ট সংখ্যক অঙ্ক থাকে (যেমন: 0.25, 3.1416।

• অসীম আবৃত (পৌনঃপুনিক) দশমিক: দশমিকের পর নির্দিষ্ট কিছু অঙ্ক বারবার আসতে থাকে 

  যেমন: 0.333... = 0.3 বা 1.2323... 

গণিতে বিভাজ্যতা (Divisibility) বলতে বোঝায়—একটি পূর্ণসংখ্যাকে অন্য একটি পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ না থাকা (অর্থাৎ ভাগশেষ ০ হওয়া)।

কোনো বড় সংখ্যাকে ভাগ না করেই তা কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কি না, তা যাচাই করার জন্য কিছু বিশেষ সহজ নিয়ম রয়েছে। নিচে ১ থেকে ১১ পর্যন্ত বিভাজ্যতার নিয়মগুলো বিস্তারিত আলোচনা করা হলো:

                                                                            ১ থেকে ১১ পর্যন্ত বিভাজ্যতার নিয়ম

সহ-মৌলিক সংখ্যার সাহায্যে যৌথ বিভাজ্যতা

যদি একটি সংখ্যা x এবং y উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং x ও y পরস্পর সহ-মৌলিক (Co-prime) হয়, তবে সংখ্যাটি (x x y) দ্বারাও বিভাজ্য হবে।

• ১২ দ্বারা বিভাজ্যতা: সংখ্যাটিকে ৩ এবং ৪ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
• ১৫ দ্বারা বিভাজ্যতা: সংখ্যাটিকে ৩ এবং ৫ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
• ১৮ দ্বারা বিভাজ্যতা: সংখ্যাটিকে ২ এবং ৯ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।